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\newcommand{\decreasingfunctions}{%
	\begin{tikzpicture}[scale=1.75, baseline=0]%
		\draw (0,-0.25ex) -- (1ex,-0.25ex);%
		\draw (1ex,0) arc (0:90:1ex);%
	\end{tikzpicture}\,%
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	\begin{tikzpicture}[scale=1.75, baseline=0]%
		\draw (0,-0.25ex) -- (1ex,-0.25ex);%
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	\end{tikzpicture}\,%
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	\begin{tikzpicture}[scale=1.75, baseline=0]%
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\newcommand{\strictlyincreasingfunctions}{%
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\newcommand{\evenfunctions}{%
	\begin{tikzpicture}[scale=1.5, baseline=-0.5ex]%
		\draw (-1ex,0) -- (1ex,0);%
		\draw (0,-1ex) -- (0, 1ex);%
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	\end{tikzpicture}\,%
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	\begin{tikzpicture}[scale=1.5, baseline=-0.5ex]%
		\draw (-1ex,0) -- (1ex,0);%
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	\begin{tikzpicture}[scale=1.5, baseline=-0.5ex]%
		\draw (-0.75ex,0) ellipse (0.5ex and 1ex);
		\draw (0.75ex,0) ellipse (0.5ex and 1ex);
		\draw (-0.75ex,0.5ex) -- (0.75ex,0.5ex);
		\draw (-0.75ex,0) -- (0.75ex,0);
		\draw (-0.75ex,-0.5ex) -- (0.75ex,-0.5ex);
	\end{tikzpicture}\,%
}

\newcommand{\injections}{%
	\begin{tikzpicture}[scale=1.5, baseline=-0.5ex]%
		\draw (-0.75ex,0) ellipse (0.5ex and 1ex);
		\draw (0.75ex,0) ellipse (0.5ex and 1ex);
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	\end{tikzpicture}\,%
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\newcommand{\surjections}{%
	\begin{tikzpicture}[scale=1.5, baseline=-0.5ex]%
		\draw (-0.75ex,0) ellipse (0.5ex and 1ex);
		\draw (0.75ex,0) ellipse (0.5ex and 1ex);
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		\draw (-0.75ex,-0.5ex) -- (0.75ex,0);
	\end{tikzpicture}\,%
}
% Document

\author{Ewen Le Bihan}
\date{2020-12-29}
\title{Fonctions à ensembles fonctionnels}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
	La notation $\cD(A, B)$ désignant l'ensemble des fonctions dérivables sur $A$ de type $A\to B$ est assez commune, et facilement définissable de manière formelle, ainsi que sa généralisation, $\cD^n$, ou son homologue pour les fonctions continues, $\cC$. Mais il y a bien un lien entre ces trois notations: ce sont des \emph{fonctions à valeurs d'ensembles ne contenant que des fonctions du type correspondants aux deux arguments passés à la fonction}, ou, plus succintement, pour tous ensembles $A$ et $B$, $\cD(A, B) \in \mathcal P(\cF(A, B))$.
	
%\footnote{On remarque aussi que la notation $\cF$ est elle-même une fonction à ensembles fonctionnels}

	Dans cet article est exploré cette “classe” d'objets particuliers. On défini pour tout le reste de l'article l'abbréviation {\bf FEF}, signifiant “Fonctions à valeurs d'ensembles fonctionnels”. On note dans la suite de tout l'article $A$ et $B$ deux ensembles quelconques, $:=$ l'égalité par définition et $\text{univers}$ l'unique ensemble tel que pour tout ensemble $A$, $A \subset \text{univers}$.
\end{abstract}

\section{Définitions}

\subsection{Définition de l'ensemble des FEF}
\paragraph{}

On définit dès lors un nouvel ensemble $\Y$%\footnote{$\Y$ est préféré à $\mathbb F$ car $\mathbb F$ désigne déjà l'ensemble des champs, et $\Y$ n'a aucun usage répertorité sur Wikipédia.

\[
	\Y := \cF(A \times B,\ \mathcal P(\cF(A, B))
\] 
Où:

\begin{itemize}
	\item $\cF$ désigne l'ensemble des fonctions de type $A\to B$. Pour la définition formelle de $\cF$, cf. \ref{formal_def_F}.
	\item $\mathcal P(A)$ désigne l'ensemble des parties de $A$
\end{itemize}

\paragraph{}
On a bien:

\begin{itemize}
	\item $\cF \in \Y$
	\item $\cC \in \Y$
	\item $\cD \in \Y$
\end{itemize}



\subsection{Un conflit de notations: l'exposant}

Cette perspective de $\cD^n$ ou $\cC^n$ comme de simples fonctions soulève un conflit assez désagréable de notation: si $\cD$ est une fonction, on devrait avoir:

\[
	\forall n \in \N, \cD^n = \bigcirc_{i=0}^n \cD
\] 

Ce qui n'est évidemment pas le cas.

Dès lors, par souci de clarté, contrairement à la notation traditionnelle, {\bf $\cD_n$ désignera l'ensemble des fonctions $n$ fois dérivables, et $\cD^n$ la fonction $\cD$ $n$ fois composée avec elle-même}. On fera la même entorse aux notations classiques pour $\cC$.

\subsection{Définition formelle de $\cF$}
\label{formal_def_F}

L'ensemble $\cF$ est particulier: \emph{il est nécéssaire que $\cF$ soit définie pour définir $\Y$ même}.

De ce fait, la définition de $\cF$ nécéssite une définition formelle des applications.
On restera au stade d'une définition semi-formelle:

\[
	\cF := (A, B) \mapsto \{ f \in \text{univers},\ f:A\to B\} 
\]

\subsection{Extension des opérateurs ensemblistes aux FEF}

\paragraph{}
On a, pour tout élément $F \in \Y$:

\begin{enumerate}
	\item $F$ est d'arité 2 (i.e. $F$ prend deux arguments)
	\item $F$ est à valeur d'ensembles
\end{enumerate}

\paragraph{}
On en déduit que \emph{tout élément de $\Y$ possède la même arité et renvoie des valeurs de nature ensembliste}.

\paragraph{}
Il est donc possible d'étendre canoniquement et sans ambiguïté les opérateurs ensemblistes aux FEF.
On a donc:

\begin{align}
	\forall \square \in \{\cup, \cap, \setminus, \Delta \},\ \forall (F, G) \in \Y^2,\ F \square G &:= (A, B)\mapsto F(A, B) \square G(A, B) \\
	\forall F\in \Y,\ ^c\!F &:= (A, B)\mapsto \,^c\!(F(A,B)) \\
	\forall F \in \Y,\ F^\ast &:= F \setminus (A, B)\mapsto \{x\mapsto 0_A\} 
\end{align}

\paragraph{}
On précise pour (2) que l'“univers” des FEF (c'est-à-dire tel que le complémentaire de l'univers est $\emptyset$) est $\cF$: On a bien $^c\!\cF = \emptyset$, l'ensemble des fonctions de $A$ dans $B$ qui ne sont pas des fonctions de $A$ dans $B$ est vide. De ce fait, on a:

\[
	\forall F\in \Y,\ \,^c\!F := \cF \setminus F
\]. 

On précise pour (3) que $0_A$ représente l'élément neutre du magma unitaire\footnote{i.e. $A$ possède un élément neutre pour $+$} $(A, +)$. Cette définition a donc un sens si et seulement si $(A, +)$ est un magma unitaire.

\paragraph{}
Cette extension de notation permettra notamment de définir la FEF des bijections de manière très succinte (cf \ref{def_FEF_bijections})

\subsection{Notation succinte pour définir des FEF}

On note, pour tout $F \in \Y$ et pour toute proposition $P$ convenablement définie:

\[
	\FEF{P(f, A, B)} := (A, B) \mapsto \{f\in B^A,\ P(f, A, B)\} 
\]
Cette notation définit un opérateur similaire à $\text{lim}$ qui est exprimable en tant que fonction, en effet, on a $\text{FEF} \in \cF(B^A \times A \times B \times \cF(B^A, A, B), \Y)$

\subsubsection{Exemple: Définition de la FEF des paires}

\[
	\evenfunctions := \FEF{f\circ (-\id_A)} = (A, B) \mapsto \{f\in B^A,\ f \circ (-\id) = f \} 
\] 

\subsection{Définition de quelques FEF}

\subsubsection{Dérivabilité, continuité}

Soit $n \in \N$. Soit $u \in -\N^\ast$.

\begin{align}
	\cD_n &:= \FEF{\left(\forall a\in A,\ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(a+\epsilon)-f(a)}{\epsilon} \in \R\right)}  \\
	\cD_u &:= \FEF{\left(\exists F\in B^A,\ F' = f\right)} \\
	\cC_n &:= \FEF{\left( \forall a\in A,\ \lim_{\epsilon \to a} f(\epsilon) = a \right)  } 
\end{align}

Dans (4), la condition sur la limite implique également que la limite doit exister.

\subsubsection{Monotonie}

Sont définies ci-après les FEF des fonctions croissantes $\increasingfunctions$, des fonctions décroissantes $\decreasingfunctions$ et leurs homologues stricts $\strictlyincreasingfunctions$ et $\strictlydecreasingfunctions$, en s'inspirant fortement des notations de la théorie des ensembles.

\begin{align*}
	\increasingfunctions &:= \FEF{\left(\forall x,y\in A,\ x \ge y \implies f(x) \ge f(y)\right) } \\
	\strictlyincreasingfunctions &:= \FEF{\left(\forall x,y\in A,\ x > y \implies f(x) > f(y)\right) } \\
	\decreasingfunctions &:= \FEF{\left(\forall x,y\in A,\ x \ge y \implies f(x) \le f(y)\right) } \\
	\strictlydecreasingfunctions &:= \FEF{\left(\forall x,y\in A,\ x > y \implies f(x) < f(y)\right) } \\
\end{align*}

\subsubsection{Parité}
Sont définies ci-après les FEF des fonctions paires $\evenfunctions$ et impaires $\oddfunctions$. Leurs symboles proviennent du graphe d'une fonction $(\text{id})^n$ avec $n$ pair ou impair.

\begin{align*}
	\evenfunctions &:= \FEF{f \circ (-\text{id}_A) = f } \\
	\oddfunctions &:= \FEF{f \circ (-\text{id}_A) = -f} 
\end{align*}

\subsubsection{*jectivité}

Sont définies ci-après les FEF des fonctions injectives $\injections$, surjectives $\surjections$ et bijectives $\bijections$. Leurs symboles proviennent des diagrammes sagittaux.

\begin{align*}
	\injections &:= \FEF{\left( \forall (a_1,a_2)\in A^2,\ f(a_1)=f(a_2)\implies a_1 = a_2 \right)} \\
	\surjections &:= \FEF{f\in B^A,\ \left( \forall b\in B,\ \exists a\in A,\ f(a)=b \right)}\\
\end{align*}

\label{def_FEF_bijections}
La surcharge de la notation d'intersection permet de définir facilement $\bijections$ à partir de $\injections$ et $\surjections$: 
\[
	\bijections := \injections \cap \surjections
\] 

C'est enfait la définition même du quantificateur $\exists!$ qui intervient dans cette facilité de définition.

\section{Analyse}



\newpage
\tableofcontents

\end{document}
