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\title{Rapport de projet -- Traitement du signal}
\author{Florent Puy, Ewen Le Bihan}

\date{ENSEEIHT, département Sciences du Numérique}

\begin{document}
\maketitle



\tableofcontents

\section{Introduction}

Dans ce projet, nous avons eu à implémenter un modem suivant les règles V21 de l'union internationnale des télécommunications (UIT) en Matlab. Nous utiliserons la méthode de la modulation en fréquence numérique.

\section{Modem en fréquence}

Nous allons tout d'abord réaliser un signal NRZ binaire à partir duquel nous construirons ensuite un signal sinusoïdal modulé fréquence $F_0=\SI{1180}{\hertz}$ pour les bits 0 et de fréquence $F_1=\SI{980}{\hertz}$ pour les bits 1.
Nous comparerons ensuite les densités spéctrales de puissance théorique et pratique du signal NRZ et du signal modulé en fréquence.

\subsection{Génération d'un signal NRZ}

On génère tout d'abord un signal NRZ prennant deux valeurs, 0 ou 1, générées aléatoirement d'une durée $T_s=1/300 s$. On effectue cela sur $N_s$ périodes. Voici les résultats ainsi obtenus.

%IMAGE--------------------------------------------------

On calcule ensuite la densité spectrale de puissance de ce signal NRZ en utilisant la fonction $pwelch$ de Matlab utilisant un périodogramme de Welch.

%IMAGE-----------------------------------------------------

On calcule ensuite la densité spectrale théorique vue en cours d'un signal NRZ:
\[
S_\text{NRZ}(f)=\frac{1}{4} T_s \sinc^2(\pi f T_s)+\frac{1}{4} \delta(f)
\]

On peut déormais comparer la densité spéctrale de puissance théorique à celle calculée:

%IMAGE--------------------------

\subsection{Génération d'un signal modulé en fréquence}

Pour construire notre signal modulé en fréquence nous allons nous baser sur le signal NRZ et sur une simple sinusoïdale. Lorsque le signal NRZ vaut 0, la fréquence de la sinusoïdale sera $F_0=1180Hz$ et lorsqu'il vaut 1 la sinusoïdale sera de fréquence $F_1=980Hz$. Au final, notre signal modulé suit la formule suivante:
\[
modulé(t)=NRZ(t) cos(2\pi F_1 t + \phi_1) + (1-NRZ(t)) cos(2 \pi F_0 t + \phi_1)
\]
$\phi_1$ et $\phi_2$ étant des déphasages tirés aléatoirement dans $[0;2\pi]$

On obtient ainsi le signal suivant:

%IMAGEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

On calcule ensuite la densité spectrale de puissance de ce signal NRZ en utilisant la fonction $pwelch$ de Matlab utilisant un périodogramme de Welch. 
On obtient ceci:

%-------IMAGE


\section{Canal de transmission à bruit additif, blanc et Gaussien}

Dans cette section, nous allons tenter de simuler un bruit blanc Gaussion que nous additionnerons à notre signal modulé en fréquence afin de modéliser le signal reçu par le modem.
Le bruit simulé sera généré aléatoirement grâce au module $rand$ de Matlab et sera de puissance $\sigma²$ avec:

\[
\sigma=\sqrt{\frac{S_m_o_d_u_l_e}{10^S^N^R^/^1^0}} \huge
\]

avec $S_m_o_d_u_l_e$ représentant la densité spectrale de puissance du signal modulé en fréquence et $SNR$ le rapport signal sur bruit (signal to noise ratio) que nous fixerons à 10 par la suite.

\section{Démodulage par filtrage}

On souhaite désormais reconstituer le signal de départ. Pour cela, nous allons procéder à un filtrage passe bas d'une part et passe haut d'autre part, avec une fréquence de coupure $F_c=\frac{F_0+F_1}{2}$. Nous ferons ensuite passer chacun des signaux filtrés par un détecteur d'énergie qui permettra de reproduire de signal binaire initial de manière fidèle.

\subsection{Filtre passe haut}
Pour le passe haut, nous allons utiliser un filtre de réponse impultionnelle suivante:
\[
h_h_a_u_t(t) = \frac{2 F_c}{F_e} sinc(2 F_c t)
\]
\\
et donc \[H_h_a_u_t(f) = TF(h_h_a_u_t(t))
\]

\subsection{Filtre passe bas}

\[
H_b_a_s(f) = 1-H_h_a_u_t(f)
\]

\end{document}⏎     