Arithmétique (sup)

1. Enoncer la relation de Bézout.
2. A t-on l’unicité de la relation de Bézout ?
3. Enoncé du lemme de Gauss.
4. Démonstration du lemme de Gauss.
5. Définition du PPCM en terme arithmétiques et d’idéaux.
6. Définition d’une relation d’équivalence.
7. Définition d’une classe d’équivalence.
8. Quelle structure peut-on donner à Z/nZ ?
9. Enoncé du Théorème de Fermat.

Structures algébriques (sup)

10. Définition d’un groupe ? D’un groupe abélien ?
11. Qu’est-ce qu’un sous-groupe ?
12. Donner la caractérisation rapide des sous-groupes.
13. Exemples TRES VARIES de groupes finis.
14. Exemples de groupes finis non commutatifs ?
15. Cardinal de l’ensemble des permutations de [|1, n|]
16. Quelles sont les permutations qui engendrent tout l’ensemble des permutations (ses générateurs) ?
17. Définition de l’application signature, où la retrouve-on ?
18. Que peut-on dire de t i , j t k,l (discuter en fonction des i , j , k, l ) ?
19. Définition d’un anneau.
20. Définition d’un anneau intègre.
21. Exemples TRES VARIES d’anneaux.
22. Définition d’un morphisme d’anneau.
23. Quand est-ce qu’un anneau est un corps ?
24. Exemples TRES VARIES de corps.
25. Définition de K[X ].
26. Quelle est la définition de l’indéterminée X ?
27. Que peut-on dire des idéaux des anneaux K[X ] et Z ?

Polynômes

28. Définition de la racine d’un polynôme.
29. a est racine du polynôme P ⇐⇒ ... ?
30. Qu’appelle t-on la multiplicité du polynôme ?
31. (!) Démontrer l’équivalence entre les deux propriétés de la multiplicité d’un polynôme.
32. Comment démontrer la formule de Taylor sur les polynômes ?
33. Définition d’un polynôme scindé.
34. Théorème de d’Alembert-Gauss.
35. Quels sont les polynômes irréductibles ?
36. Enoncer la propriété d’unicité de la décomposition en polynômes scindés
37. Définir les polynômes interpolateurs de Lagrange.
38. Définir la décomposition en éléments simples.
39. Soit P un polynôme. Que peut-on dire de P’/P ?

Algèbre (sup)

40. Définition d’une famille libre, famille liée.
41. Définition d’une somme de deux sous-espaces vectoriels.
42. Définition d’une somme directe de deux sous-espaces vectoriels.
43. A quelle condition une somme de deux sous-espaces vectoriels est directe ?
44. A quelle condition deux sous-espaces sont supplémentaires ?
45. Enoncer le théorème de la base extraite.
46. Enoncer le théorème de la base incomplète forme forte, et forme faible.
47. Définition du rang d’une application linéaire.
48. Théorème de la base adaptée.
49. Citer la formule de Grassmann.
50. Rappeler la forme générale de la formule de Grassmann.
51. Définition d’une application linéaire.
52. Définition d’une application injective.
53. Hypothèse nécessaire et suffisante pour qu’une application linéaire soit injective ?  surjective ?
54. Théorème du rang.
55. Définition d’un projecteur et d’une symétrie vectorielle.
56. Qu’est ce qui, en dimension finie suffit à définir une application linéaire ? Quel objet peut-on alors utiliser, dans une base fixée ?
57. Définir les formes linéaires. Quel lien entre les formes linéaires et les hyperplans ?
58. Comment est défini un hyperplan (en toute dimension) ?
59. Quelle structure peut-on donner à l’ensemble des matrices Mn,p (K) ? De Mn (K) ?  Quelle est sa dimension ?
60. Définir l’application de transposition. Quelles sont ses propriétés ?
61. Que sait-on des matrices par blocs ? (sur le produit, le déterminant,...)
62. Définir la matrice de passage.
63. Comment définir le rang d’une matrice extraite ?
64. Qu’est ce que la trace d’une matrice ?
65. Quelles sont les propriétés classiques de la trace ?
66. Quelles sont les propriétés classiques du déterminant ?

Espaces préhilbertiens

67. Définition d’un produit scalaire dans un espace préhilbertien.
68. Exemples classiques de produits scalaires.
69. Donner l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Est-elle valable en dimension infinie ?
70. Enoncer l’inégalité de Minkowski. Comment la démontrer ?
71. Cas d’égalité de Cauchy-Schwarz.
72. Cas d’égalité de Minkowski.
73. Donner l’identité de polarisation.
74. Définir l’orthogonalité dans un espace préhilbertien.
75. Enoncer le théorème de Pythagore.
76. En quoi consiste le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt ?
77. (!) Quelle sont les deux particularités du procédé de Gram-Schmidt ?
78. A quoi sert le procédé d’orthonormalisation de Schmidt ?
79. Dans un espace euclidien, avec une base orthonormée (e i ). Comment obtient-on
les coordonnées de tout vecteur x dans la base (e i ) ?
80. Dans un espace euclidien, avec une base orthonormée (e i ), quelle est la norme de x?
81. Soit x dans un espace euclidien E, et F un sous espace vectoriel de base orthonormée (e i ). Comment s’exprime le projeté de x sur F ?
82. Quel est le lien entre le projeté orthogonal et la distance entre un vecteur u par rapport à un sous espace vectoriel F ?
83. d (A, H ) = ?
84. Comment définit-on une isométrie vectorielle ?
85. Quelles sont les 3 autres propriétés équivalentes ?
86. Qu’est qu’une projection orthogonale ?
87. Lien entre projections et symétries.
88. Que dire des isométries de R2 ?
89. Que dire des isométries à déterminant positif de R3 ?
90. Que dire des isométries de Rn ?
91. Qu’est ce qu’un sous-groupe ? Comment le caractérise-on rapidement ?

Structures algébriques (spé)

92. Qu’est-ce qu’un groupe monogène ?
93. Qu’est ce qu’un groupe cyclique ?
94. Exemple de groupe monogène infini ? De groupe monogène fini ?
95. Comment définit-on le sous-groupe engendré par une partie H ?
96. Citer tous les sous-groupes de (Z, +).
97. A partir d’un sous-groupe de (Z, +), comment déterminer l’élément qui l’engendre ?
98. Définition d’un morphisme de groupe.
99. Exemple de morphisme de groupe + −→ x
100. Qu’est-ce que le noyau d’un morphisme de groupe ?
101. A quoi sont isomorphes les groupes monogènes finis ? Infinis ?
102. Qu’est ce que l’ordre d’un élément dans un groupe ? (deux définitions)
103. Dans un groupe fini, pourquoi tout élément a un ordre ?
104. Pourquoi l’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe ?
105. Quel est le contexte et la définition d’un idéal ?
106. Exemples simples d’idéaux.
107. Que peut-on dire du noyau d’un morphisme d’anneau ?

Arithmétique (spé)

108. Quelle est la caractérisation de la divisibilité de deux éléments en termes d’idéaux ?
109. Quels sont les inversibles de Z/nZ à quelle condition Z/nZ est un corps ? Comment le démontrer ?
110. Enoncé du théorème chinois des restes. Que prouve le théorème chinois des restes ? (−→ indicatrice d’Euler)
111. Qu’est ce qui définit l’indicatrice d’Euler ?
112. Enoncer le théorème d’Euler.

Algèbre bilinéaire

113. Définition de matrices semblables.
114. Comment les retrouve-on à partir des endomorphismes ?
115. Qu’ont en commun les matrices semblables ?
116. Exemple de matrices avec même rang, déterminant, trace, polynôme caractéristique, spectre mais pas semblables.
117. Qu’est-ce qu’un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme u ?
118. Quel type de matrice peut-on former lorsqu’on a un sous-espace stable par u ?
119. Quel est le lien entre l’existence d’une valeur propre et l’existence d’une droite stable ?
120. Définition(s) d’un sous-espace propre.
121. Soient z 1 , ...z n des valeurs propres et x 1 , ...x n les vecteurs propres associés. Que peut-on dire de la famille (x 1 , ...x n ) ? Comment le démontrer ?
122. Pourquoi, en dimension finie, le nombre de valeurs propres est toujours inférieur ou égal à la dimension de l’espace (deux explications)?
123. Soit deux endomorphismes u et v qui commutent. Que peut-on dire de leurs sous-espaces propres ?
124. Soit deux endomorphismes u et v qui commutent. Quelles conséquences intéressantes ? (codiagonalisation, cotrigonalisation)
125. Définir le polynôme caractéristique.
126. Quel est l’intérêt du polynôme caractéristique ?
127. A quoi ressemblent les coefficients du polynôme caractéristique ?
128. Qu’appelle t-on la multiplicité d’une valeur propre ?
129. Que peut-on dire du polynôme caractéristique d’un endomorphisme induit ?
130. Définir d’un endomorphisme diagonalisable.
131. Propriétés équivalentes à la diagonalisabilité d’un endomorphisme.
132. Propriété fondamentale de diagonalisabilité.
133. Condition suffisante de diagonalisabilité.
134. A quelle condition nécessaire et suffisante un endormorphisme est trigonalisable ? Comment le démontrer ?
135. Condition de codiagonalisation de deux matrices. Démonstration.
136. Petit résumé des endomorphismes nilpotents. (condition équivalente avec trigonalisable, nilpotents diagonalisables = ... ?,polynôme caractéristique,majoration de l’indice de nilpotence ...)
137. Qu’est ce qu’un polynôme d’endomorphisme ? (réponse: c’est un polynôme d’endomorphisme 138. Quelle structure possède l’ensemble des polynômes annulateurs d’un endomorphisme ?
139. Quelle structure possède K[u] ? De quelle dimension est K[u] ?
140. Que peut-on déduire du spectre de u lorsqu’on a un polynôme annulateur ?
141. Enoncé du théorème de Cayley-Hamilton. (démo non exigible)
142. Qu’est-ce qu’une matrice compagnon ? Quel est le polynôme caractéristique d’une matrice compagnon ?
143. Enoncer le lemme des noyaux + idée de la démo.
144. Donner deux conditions nécessaires et suffisantes de diagonalisabilité sur les polynômes annulateurs.
145. Si u est un endormorphisme et F un espace stable. Si u est diagonalisable, u F l’est-il aussi ? Comment le démontrer ?
146. Enoncer le théorème de décomposition de Dunford.
147. Théorème de la projection orthogonale sur un sous espace vectoriel de dimension finie.
148. Enoncer l’inégalité de Bessel.
149. Qu’est-ce qu’une suite totale ?
150. Qu’appelle t-on un endomorphisme symétrique ?
151. A t-on un lien avec les symétries vectorielles ?
152. Si on a un sous espace stable d’un symétrique, que peut-on dire de son orthogonal ?
153. Citer le théorème spectral.
154. Que peut-on dire du spectre d’un endomorphisme symétrique ? Comment le dé- montrer ?

Probabilités sur un univers fini

155. Définition d’un univers d’une expérience aléatoire.
156. Qu’est ce qu’un évènement ?
157. Comment appelle t-on un singleton d’un univers ?
158. Définition de l’évènement contraire d’un évènement.
159. Définition de l’évènement impossible.
160. Qu’est ce que des évènements incompatibles ?
161. Définition d’un système complet d’évènements. Comment cela s’appelle-t-il en terme ensembliste ?
162. Sur un univers fini, qu’est-ce qu’une probabilité ?
163. Qu’est ce qui suffit pour définir complètement une probabilité ?
164. Qu’est-ce qu’une probabilité uniforme ?
165. Définition de probabilité conditionnelle.
166. Formule des probabilités composées. Dans quelle situation est-on amené à utiliser la formule ?
167. Formule des probabilités totales.
168. Enoncer la formule de Bayes (forme simple et forme "généralisée")
169. Définition d’évènements indépendants.
170. Pour n évènements, quels sont les deux types d’indépendances ?

Variables aléatoires

171. Qu’est-ce qu’une variable aléatoire dans un univers fini ? Pourquoi la définition en univers dénombrable est plus compliquée ?
172. Qu’est ce que la loi d’une variable aléatoire ?
173. Définir la loi uniforme, la loi de Bernoulli, la loi binomiale (avec espérance et variance).
174. Qu’appelle t-on loi conjointe, loi marginale ?
175. Quand est-ce que deux variables aléatoires sont indépendantes.
176. Qu’est-ce que l’indépendance mutuelle d’une famille de variables ?
177. Comment définir la loi binomiale avec des lois de Bernoulli ?
178. Si X et Y sont indépendantes et deux applications f et g , que peut t-on dire ?
179. Définition de l’espérance dans un univers fini.
180. Propriétés classiques de l’espérance.
181. Enoncer la formule du transfert.
182. Enoncer l’inégalité de Markov.
183. Qu’appelle t-on le moment d’une variable aléatoire ?
184. Si une variable admet un moment d’ordre 2, quelle est sa variance ?
185. Est-ce qu’on peut toujours prendre la racine de la variance ?
186. V (aX + b) = ?
187. Quel sens intuitif peut-on donner à la variance ?
188. Comment fabrique t-on la variable centrée réduite d’une variable donnée ?
189. Enoncer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
190. Définition de la covariance.
191. Formule de König pour la covariance.
192. C ov(X , Y ) si X et Y sont indépendantes ? L’inverse est-il vrai ?
193. V (a X + bY ) =?

Probabilités sur un univers dénombrable

194. Définition d’une tribu.
195. Définition d’un espace probabilisable.
196. Définition d’une probabilité.
197. Que suffit -il pour définir une probabilité ?
198. Enoncer le théorème de continuité croissante.
199. Enoncer le théorème de continuité décroissante.
200. Propriété de sous-additivité.
201. Définition d’un évènement négligeable, évènement presque sûr
202. Que se passe t-il lorsqu’on fait une union d’évènements négligeables ?
203. Pour un univers infini dénombrable, comment définir une variable aléatoire discrète ?
204. Définition de la loi géométrique + définition intuitive.
205. Définition de la loi de Poisson.
206. Qu’est ce que la loi permet d’approximer ? A quelles conditions ?
207. Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espérances.
208. Enoncé de la loi des grands nombres.
209. Définition de la fonction génératrice d’une variable aléatoire. Cela revient à définir l’espérance de quelle variable ?
210. Fonctions génératrices des lois binomiale, de Poisson, géométrique.
211. Comment utiliser la fonction génératrice pour calculer une espérance ou une variance ?

Dénombrement

212. Sur un jeu de 32 cartes, en tirant au hasard, quelle est la probabilité d’obtenir un roi ou un trèfle ?
213. Sur un digicode (4 chiffres sur un pad de 10) quelle est la probabilité d’avoir exactement un chiffre double ?
214. On a une course d’athlétisme de 100 mètres, on a 8 coureurs au départs. Quel est le nombre de podiums possibles ?

Formulaire

215. DL de cos(x) à l’ordre 4.
216. DL de si n(x) à l’ordre 3.
217. DL de l n(1 + x) à l’ordre 2.
218. DL de ch(x) à l’ordre 4.
219. DL de exp(x) à l’ordre 2.
220. DL de (1 + x).
221. Primitive de x k .
222. Primitive de 1+x
223. Primitive de l n(x).
224. Primitive de (x).
225. Primitive de 1+x
226. Que faire pour la primitive de

Intégration

227. Lorsqu’on a une fonction dérivable bijective. A quelle condition la fonction réciproque est dérivable ? Donner sa dérivée.
228. Définition d’une primitive.
229. Est-ce que toute fonction admet une primitive ?
230. Enoncé du théorème fondamental de l’analyse.
231. Enoncer le théorème d’intégration par parties.
232. Théorème de changement de variable sur un segment.
233. Propriétés classiques de l’intégrale (avec une relation et une inégalité)

Equations différentielles
234. Quelle est la forme générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre ? Quelle est l’ensemble des solutions ?
235. Enoncé du théorème de Cauchy sur les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constant.s
236. Que sait t-on sur les équation différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ?
237. Lorsqu’on a un second membre, que peut-on faire ?

Suites numériques
238. Définition de N, Z, D, R, C. Quelles structures peut-on leur donner ?
239. Définition de la partie entière.
240. Démonstration de la densité des rationnels dans l’ensemble des réels
241. Qu’est-ce qu’un intervalle de R ?
242. Qu’appelle t-on une suite majorée ?
243. Qu’appelle t-on une suite arithmétique ? Une suite géométrique ? Une suite arithmético-géométrique ?
244. Comment calculer le terme général d’une suite arithmético-géométrique ?
245. Définition d’une suite convergente vers une limite finie l .
246. Définition d’une suite qui tend vers +∞
247. Toute suite convergente est ... ? Comment le démontrer ?
248. Que peut t-on dire d’une suite réelle croissante ? (distinguer les deux cas)
249. Les sommes partielles de séries sont croissantes ssi ... ?
250. Si une suite admet une limite positive, alors à partir d’un certain rang, les termes de la suite ... ?
251. Définition d’une suite adjacente.
252. Théorème des suites adjacentes ?
253. Qu’est-ce qu’une suite extraite ?
254. Enoncé théorème pair-impair.
255. Enoncé théorème de Bolzano-Weierstrass.
256. Enoncé de la caractérisation séquentielle de la densité.
257. Enoncé de la caractérisation séquentielle de la borne supérieure.
258. Forme des suites à récurrence linéaire d’ordre 2. Forme des solutions ?
259. Que fait-on avec des suites récurrentes ? (u n+1 = f (u n ))

Fonctions

260. Définition de la limite (finie/infinie) d’une fonction.
261. Théorème des bornes atteintes.
262. Caractérisation séquentielle de la limite.
263. Définition de la continuité.
264. Conditions de prolongement par continuité.
265. Caractérisation séquentielle de la continuité.
266. Enoncé du théorème des valeurs intermédiaires dans R.
267. Enoncé du théorème de la bijection.
268. Si f est continue sur un intervalle, que peut-on dire de l’image de f ? (similaire à un théorème de MP sur les connexes par arcs)
269. Enoncé du théorème des bornes atteintes
270. Que peut-on dire de l’image d’un segment par une fonction continue ?
271. Que peut-on dire d’une fonction injective sur un intervalle ?
272. Si on a une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, elle est bijective. Que peut-on dire de sa réciproque ? Au niveau des courbes ?
273. Définition de la dérivabilité d’une fonction en un point donné.
274. Donner une définition équivalente de la dérivabilité d’une fonction en un point avec les développements limités.
275. Pour une fonction dérivable sur I , quelle est la condition nécessaire pour avoir un extremum local en un point intérieur de I ?
276. Enoncé du théorème de Rolle.
277. Enoncé du théorème des acroissements finis.
278. Enoncé de l’inégalité des accroissements finis.
279. Définition d’une fonction lipschitzienne.
280. Que peut-on dire d’une fonction lipschitzienne ?
281. Théorème sur la limite de la dérivée.
282. Enoncé de la formule de Leibniz pour une fonction de classe C k
283. Enoncé du théorème de classe C k
284. Définition des relations de comparaisons (équivalents,...)
285. Définition d’un développement limité.
286. Troncature des DL.
287. Enoncé de la formule de Taylor-Young.
288. Enoncé de la formule de Stirling. A quoi ressemble la démonstration ?
289. Qu’est-ce qu’une application uniformément continue dans R ?
290. Enoncé du théorème de Heine.
291. Définition des fonctions en escalier sur [a, b]
292. Définition d’une subdivision d’un segment [a, b]
293. Définition d’une fonction continue par morceaux.
294. Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.
295. Propriétés classiques de l’intégrale (+inégalité de la moyenne, Chasles)
296. Que dire si l’intégrale de f est nulle où f est continue de signe constant ?
297. Condition d’obtention de primitives.
298. (!) Formule de Taylor avec reste intégral (+ idée de démonstration)
299. (!) Inégalité de Taylor-Lagrange.

Séries numériques

300. Définition d’une série numérique.
301. Définition d’une somme partielle.
302. Définition de convergence d’une série numérique.
303. Que dire sur le terme général si la série converge ? Que dire de la réciproque ?
304. Définition d’une série géométrique, condition de convergence.
305. Définition d’une série télescopique.
306. Que dire de la suite des sommes partielles d’une série à termes positifs convergente ? La réciproque est-elle vraie ?

(!) Exercice type : Soit A une matrice de taille n. A 2 est diagonalisable et K er (A) = K er (A 2 ). Montrer que A est diagonalisable.
(!) Revoir le lemme de Borel-Cantelli